Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- 2 x}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $e^{- 2 x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Étape 4

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Étape 6

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Étape 6.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Étape 6.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Étape 6.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Étape 10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Étape 12

Associez $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ et $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ sur $t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

Étape 13.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2 t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 13.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.5

Additionnez $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ et $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

Étape 13.3.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

Étape 13.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Étape 13.3.8

Pour écrire $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Étape 13.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.3.9.1

Multipliez $\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Étape 13.3.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

Étape 13.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Étape 13.3.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t e^{- 2 t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Étape 14.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Étape 14.3

Réécrivez $- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ comme $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

Étape 14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Étape 15

Évaluez la limite.

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Étape 15.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

Étape 15.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

Étape 15.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.5

Réécrivez $t e^{- 2 t}$ comme $\frac{t}{e^{2 t}}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 15.6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 15.6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.1.3

Comme l’exposant $2 t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{2 t}$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

Étape 15.6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 15.6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 15.6.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.6.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 t}$ .

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.7

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{2 t}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.9

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.10

Comme l’exposant $- 2 t$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 2 t}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 15.11

Évaluez la limite.

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Étape 15.11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Étape 15.11.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.11.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

Étape 15.11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

Étape 15.11.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

Étape 15.11.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 15.11.2.4

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 15.11.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4})$

Étape 15.11.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$