Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

Étape 3

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

Étape 3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $\sqrt{y}$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ .

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Étape 3.4.1

Associez $\sqrt{y}$ et $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{\sqrt{y}}{3}$ et $y$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sqrt{y}$ .

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

Étape 4

Vérifiez si $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ est continu.

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 9]$ ou non, déterminez le domaine de $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

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Étape 4.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{y}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$y \geq 0$

Étape 4.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \geq 0}$

Étape 4.2

$f (y)$ est continu sur $[1, 9]$ .

La fonction est continue.

Étape 5

Vérifiez si $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ est différentiable.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 5.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

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Étape 5.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.2.2.1

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ .

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Étape 5.1.1.2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.9

Associez $\frac{3}{2}$ et $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.11

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.12

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.1.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 5.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

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Étape 5.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 5.1.1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5.1.1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 5.1.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 5.1.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 5.1.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Étape 5.1.1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.1.1.3.10

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.2

La dérivée première de $f (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[1, 9]$ .

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Étape 5.2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 9]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 5.2.1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Étape 5.2.1.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

Étape 5.2.1.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

Étape 5.2.1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{y}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$y \geq 0$

Étape 5.2.1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{y} = 0$

Étape 5.2.1.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.2.1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.4.2.2.1

Simplifiez ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.4.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 y^{1} = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2.1.4

Simplifiez

$4 y = 0^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 y = 0$

Étape 5.2.1.4.3

Divisez chaque terme dans $4 y = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1.4.3.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 0$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.1.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.1.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.1.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1.4.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$y = 0$

Étape 5.2.1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y > 0}$

Étape 5.2.2

$f' (y)$ est continu sur $[1, 9]$ .

La fonction est continue.

Étape 5.3

La fonction est différentiable sur $[1, 9]$ car la dérivée est continue sur $[1, 9]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[1, 9]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[1, 9]$ .

Étape 7

Déterminez la dérivée de $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ .

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Étape 7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.2

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $y^{\frac{1}{2}}$ par $y$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.8.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.9

Associez $\frac{3}{2}$ et $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.11

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.12

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

Étape 7.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ .

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Étape 7.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 7.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7.3.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 7.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

Étape 7.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 7.3.10

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

Étape 9