Calcul infinitésimal Exemples

${(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 + x^{2} \cot (x^{2})]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x^{2} \cot (x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x^{2})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (x^{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x^{2})] + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- \csc^{2} (x^{2}) (2 x)) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2}) x) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x \cdot x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1} x^{2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 {(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{- 4} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Étape 8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez des termes.

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Étape 9.1.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Étape 9.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$

Étape 9.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}} (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x))$ .

$- (x^{3} (- 2 \csc^{2} (x^{2})) + \cot (x^{2}) (2 x)) \frac{3}{{(3 + x^{2} \cot (x^{2}))}^{4}}$