Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 - x^{2})}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{4 - x^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 11.3

Placez ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 11.4

Associez $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 13

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Étape 15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{4 - x^{2}}$

Étape 16

Multipliez.

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Étape 16.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{4 - x^{2}}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{4 - x^{2}}$

Étape 18

Associez les fractions.

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Étape 18.1

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{4 - x^{2}}$

Étape 18.2

Associez $\frac{2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{2} x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 19

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 21

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 22

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 x^{3}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 23

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + \frac{x^{3}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 24

Remettez dans l’ordre $4$ et $- x^{2}$ .

$\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 25

Pour écrire $2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 27

Multipliez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.1

Déplacez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 x ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 27.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 27.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 x {(- x^{2} + 4)}^{1} + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 28

Simplifiez $2 x {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$

Étape 29

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ comme un produit.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}}$

Étape 30

Multipliez $\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})}$

Étape 31

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Étape 32

Multipliez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 4$ en additionnant les exposants.

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Étape 32.1

Multipliez ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $- x^{2} + 4$ .

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Étape 32.1.1

Élevez $- x^{2} + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{1}}$

Étape 32.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 32.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 32.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 32.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x (- x^{2} + 4) + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33

Simplifiez

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Étape 33.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 33.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 33.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 33.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 33.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 4 + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 8 x + x^{3}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.2.2

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} + 8 x$ .

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Étape 33.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + 8 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.3.2

Factorisez $x$ à partir de $8 x$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 8}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2}) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- x^{2} + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- (x^{2}) + 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.5

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2}) - 1 (- 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.7

Réécrivez $- (x^{2} - 8)$ comme $- 1 (x^{2} - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (x^{2} - 8))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 33.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x (x^{2} - 8)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$