Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{3} (- x^{3} + 3 x^{2} + 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{3} - x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{3} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 1}^{3} x^{3} d x + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{3}$

Étape 10.3

Évaluez $x$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{81 - 1}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.4

Soustrayez $1$ de $81$ .

$- \frac{80}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.5

Annulez le facteur commun à $80$ et $4$ .

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Étape 10.4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{20}{1} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.5.2.4

Divisez $20$ par $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.6

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 20 + 3 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.8

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 10.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 20 + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 20 + 3 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.8.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- 20 + 3 (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 20 + 3 (9 - \frac{- 1}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 20 + 3 (9 - - \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 20 + 3 (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3) + 1$

Étape 10.4.12

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- 20 + 3 (9 + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.13

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 3 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.14

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 20 + 3 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 20 + 3 \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3) + 1$

Étape 10.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.16.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$- 20 + 3 \frac{27 + 1}{3} + (3) + 1$

Étape 10.4.16.2

Additionnez $27$ et $1$ .

$- 20 + 3 (\frac{28}{3}) + (3) + 1$

Étape 10.4.17

Associez $3$ et $\frac{28}{3}$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3} + (3) + 1$

Étape 10.4.18

Multipliez $3$ par $28$ .

$- 20 + \frac{84}{3} + (3) + 1$

Étape 10.4.19

Annulez le facteur commun à $84$ et $3$ .

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Étape 10.4.19.1

Factorisez $3$ à partir de $84$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3} + (3) + 1$

Étape 10.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.19.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3 (1)} + (3) + 1$

Étape 10.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 20 + \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 1} + (3) + 1$

Étape 10.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 20 + \frac{28}{1} + (3) + 1$

Étape 10.4.19.2.4

Divisez $28$ par $1$ .

$- 20 + 28 + (3) + 1$

Étape 10.4.20

Additionnez $- 20$ et $28$ .

$8 + (3) + 1$

Étape 10.4.21

Additionnez $3$ et $1$ .

$8 + 4$

Étape 10.4.22

Additionnez $8$ et $4$ .

$12$

Étape 11