Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = - 1$ et $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 2 x + y$ et $g (y) = x + 2 y$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.5

Multipliez $x + 2 y$ par $1$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.7

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.12

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

Étape 3.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.14.1

Multipliez $\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ par $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

Étape 3.14.2

Additionnez $- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ .

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $x - 2 (2 x)$ et $0$ .

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$