Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln^{2} (x)$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln^{2} (x)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{2} (x))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Étape 4.3

Associez les fractions.

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Étape 4.3.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$\frac{2}{x} \ln (x)$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 4.4

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x^{2})}{x}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$