Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \arctan (\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}})$

Étape 1

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{3 + 0}}$

Étape 1.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2

Remplacez $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}}$ par $t$ et laissez $t$ approcher de $\frac{\sqrt{3}}{3}$ car $lim_{x \to 0} \frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$lim_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}} \arctan (t)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{\sqrt{3}}{3}$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3 + 0}})$

Étape 3.1.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 3.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Étape 3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Étape 3.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 3.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 3.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Étape 3.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{6}$

Forme décimale :

$0.52359877 \dots$