Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13

Simplifiez

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Étape 1.3.13.1

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (x)$ et $\cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (x)$ et $b = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.3

Développez $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.13.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.4

Associez les termes opposés dans $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 1.3.13.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (x) (- \sin (x))$ et $\sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.4.2

Additionnez $- \cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.4.3

Additionnez $\cos (x) \cos (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.13.5.1

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.3.13.5.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.3

Multipliez $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 1.3.13.5.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.13.6

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\cos (0)$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$