Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x e^{- x^{2}}$ on $0$ , $2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.1.9

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Étape 1.1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.1.1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $e^{- x^{2}}$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $e^{- x^{2}}$ à partir de $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{- x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{- x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

Définissez $- 2 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $- 2 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $- 2 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x e^{- x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 1.4.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 1.4.1.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.4.1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.4.1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.4.1.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4.1.2.6

Associez.

$\frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 1.4.2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 1.4.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

Étape 1.4.2.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 1.4.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.4.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.4.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1.4.2.2.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4.2.2.8

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$(0) \cdot e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot e^{- 0}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 \cdot e^{0}$

Étape 3.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$(2) \cdot e^{- {(2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot e^{- 1 \cdot 4}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 \cdot e^{- 4}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{e^{4}}$

Étape 3.2.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{2}{e^{4}}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, \frac{2}{e^{4}})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 5