Calcul infinitésimal Exemples

$(5 x^{2} + 3) (2 x - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 x^{2} + 3$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(5 x^{2} + 3) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(5 x^{2} + 3) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $5 x^{2} + 3$ .

$2 \cdot (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.2.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + 0)$

Étape 1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.12.1

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x)$

Étape 1.2.12.2

Déplacez $10$ à gauche de $2 x - 1$ .

$2 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (2 x - 1) x$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x - 1) x$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + (10 (2 x) + 10 \cdot - 1) x$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.3.4.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 x^{2} + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$10 x^{2} + 6 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x \cdot x + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x) + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} + 10 \cdot - 1 x$

Étape 1.3.4.8

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} - 10 x$

Étape 1.3.4.9

Additionnez $10 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} + 6 - 10 x$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 30 x^{2} - 10 x + 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 x^{2} - 10 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{2}$ par rapport à $x$ est $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$60 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$60 x - 10 + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$60 x - 10 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $60 x - 10$ et $0$ .

$f'' (x) = 60 x - 10$