Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{3} \sqrt{2 x^{2} + 6 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x^{2} + 6 x}$ comme ${(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{3} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{{(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 9

Placez ${(2 x^{2} + 6 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x])$

Étape 10

Multipliez $\frac{1}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Étape 11

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Étape 12

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Étape 13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 6 x]$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 15

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 17

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [6 x])$

Étape 18

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6 \cdot 1)$

Étape 20

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + 6)$ .

$(4 x + 6) \frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2

Multipliez $4 x + 6$ par $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 6$ .

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Étape 21.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (2 x + 3)}{3 {(2 x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}}$