Calcul infinitésimal Exemples

$y'''' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

Étape 1

Déterminez $y'$ .

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 x^{2}$

Étape 2

Déterminez $y''$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée.

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y'' = 3 (2 x)$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y'' = 6 x$

Étape 3

Déterminez $y'''$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée.

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y''' = 6 \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$y''' = 6$

Étape 4

Déterminez $y''''$ .

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Étape 4.1

Définissez la dérivée.

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y'''' = 0$

Étape 5

Remplacez dans l’équation différentielle donnée.

$0 = \frac{3 x^{3}}{x}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$0 = \frac{3 x^{2}}{1}$

Étape 6.2.5

Divisez $3 x^{2}$ par $1$ .

$0 = 3 x^{2}$

Étape 7

La solution donnée ne respecte pas l’équation différentielle donnée.

$y = x^{3}$ n’est pas une solution à $y'''' = \frac{3 y}{x}$