Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 \int x^{- 2} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 \int x^{- 3} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

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Étape 10.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Étape 10.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| x |) + C + 2 (- x^{- 1} + C) + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Étape 10.2

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$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Étape 10.3

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Étape 10.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Étape 10.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Étape 10.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| x |) - \frac{2}{x} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$