Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\int 1 (1 - u^{2}) d u$

Étape 2.2

Multipliez $1 - u^{2}$ par $1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u + C - \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

Simplifiez

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$