Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} e^{2 x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} e^{2 x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{2 x}} (2 e^{2 x}) + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{x^{2} e^{2 x}} e^{2 x} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{2 x^{2}}{x^{2} e^{2 x}}$ et $e^{2 x}$ .

$\frac{2 x^{2} e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.5.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{1}{x^{2} e^{2 x}} (e^{2 x} (2 x))$

Étape 5.2.6

Associez $e^{2 x}$ et $\frac{1}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$2 + \frac{e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} (2 x)$

Étape 5.2.7

Associez $2$ et $\frac{e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}}$ .

$2 + \frac{2 e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}} x$

Étape 5.2.8

Associez $\frac{2 e^{2 x}}{x^{2} e^{2 x}}$ et $x$ .

$2 + \frac{2 e^{2 x} x}{x^{2} e^{2 x}}$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{2 e^{2 x} x}{x^{2} e^{2 x}}$

Étape 5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$2 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 5.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$2 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 5.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 5.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{2}{x}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{x} + 2$