Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} = \frac{x - y}{x + y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - y}{x + y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - y$ et $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y]) - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x + y) (1 - y') - (x - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + y) (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.1.1

Développez $(x + y) (1 - y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 - y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y (1 - y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x (- y') + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - x y' + y \cdot 1 + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x - x y' + y + y (- y') + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x - - y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 3.7.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + 1 y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' + (- x + y) (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.4

Développez $(- x + y) (1 + y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x (1 + y') + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x y' + y - y y' - x \cdot 1 - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y \cdot 1 + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2

Associez les termes opposés dans $x - x y' + y - y y' - x - x y' + y + y y'$ .

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Étape 3.7.2.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{- x y' + y - y y' + 0 - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2.2

Additionnez $- x y' + y - y y'$ et $0$ .

$\frac{- x y' + y - y y' - x y' + y + y y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2.3

Additionnez $- y y'$ et $y y'$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.2.4

Additionnez $- x y' + y - x y' + y$ et $0$ .

$\frac{- x y' + y - x y' + y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.3

Soustrayez $x y'$ de $- x y'$ .

$\frac{- 2 x y' + y + y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.2.4

Additionnez $y$ et $y$ .

$\frac{- 2 x y' + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x y' + 2 y$ .

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Étape 3.7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x y'$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 y}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (- x y') + 2 (y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x y') + 2 (y)$ .

$\frac{2 (- x y' + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y'$ .

$\frac{2 (- (x y') + y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{2 (- (x y') - 1 (- y))}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{2 (- (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.7

Réécrivez $- (x y' - y)$ comme $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x y' - y))}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} y' = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x + y)}^{2}$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}}$ dans le numérateur.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = \frac{- 2 (x y' - y)}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y' - y)$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 (x y') - 2 (- y)$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 x y' + 2 y$

Étape 5.2.1.3.2

Déplacez $x$ .

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} = - 2 y' x + 2 y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $2 y' x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' {(x + y)}^{2} + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$3 y^{2} y' ((x + y) (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} y' (x (x + y) + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.3.1.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$3 y^{2} y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{2} y' (2 x y) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.5.1

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.5.1.1

Déplacez $y$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y \cdot y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5.1.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 5.3.1.2.5.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 (y^{1} y^{2}) y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{1 + 2} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2} y' y^{2} + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.5.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 (y^{2} y^{2}) y' + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{2 + 2} y' + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.5.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 3 y^{3} y' (2 x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.1.2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' x^{2} + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' x^{2}$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + 6 y^{3} y' x + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $6 y^{3} y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + 3 y^{4} y' + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{4} y'$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + 2 y' x = 2 y$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $2 y' x$ .

$y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} x^{2}) + y' (6 y^{3} x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Étape 5.3.2.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x) + y' (3 y^{4})$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x) = 2 y$

Étape 5.3.2.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4}) + y' (2 x)$ .

$y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ par $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x) = 2 y$ par $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x)}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{3 y^{2} x^{2} + 6 y^{3} x + 3 y^{4} + 2 x}$