Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (\cos (x y)) = \frac{d}{d y} (1 + \sin (y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \sin (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$- \sin (x y) (x + y x')$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x y) x - \sin (x y) (y x')$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $\cos (y)$ .

$0 + \cos (y)$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\cos (y)$ .

$\cos (y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (x y) - y \sin (x y) x' = \cos (y)$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (x y) - y \sin (x y) x'$ .

$- x \sin (x y) - y x' \sin (x y) = \cos (y)$

Étape 5.2

Ajoutez $x \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ par $- y \sin (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- y x' \sin (x y) = \cos (y) + x \sin (x y)$ par $- y \sin (x y)$ .

$\frac{- y x' \sin (x y)}{- y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x' \sin (x y)}{y \sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x y)$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{- y \sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Séparez les fractions.

$x' = \frac{1}{- y} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (x y)} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez $\frac{\cos (y)}{\sin (x y)}$ comme un produit.

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Écrivez $\cos (y)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Simplifiez

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Étape 5.3.3.1.4.1

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x y)}$ à $\csc (x y)$ .

$x' = \frac{1}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{- 1 (- 1)}{- y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y)) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.6

Multipliez $- \frac{1}{y} (\cos (y) \csc (x y))$ .

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Étape 5.3.3.1.6.1

Associez $\cos (y)$ et $\frac{1}{y}$ .

$x' = - \frac{\cos (y)}{y} \csc (x y) + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.6.2

Associez $\csc (x y)$ et $\frac{\cos (y)}{y}$ .

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.7

Annulez le facteur commun de $\sin (x y)$ .

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Étape 5.3.3.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x \sin (x y)}{- y \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} + \frac{x}{- y}$

Étape 5.3.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\csc (x y) \cos (y)}{y} - \frac{x}{y}$