Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{- 3}^{- 1} x^{- 2} d x + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} + \int_{- 3}^{- 1} - \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - \int_{- 3}^{- 1} x^{- 3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{- 3}^{- 1})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{- 3}^{- 1})$

Étape 8.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{- 3}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $- 1$ et sur $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{- 3}^{- 1})$

Étape 8.2.2

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $- 1$ et sur $- 3$ .

$(- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + {(- 3)}^{- 1} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{- 3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 1}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.9

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} - ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 3)}^{2}})$

Étape 8.2.3.12

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 9})$

Étape 8.2.3.13

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{18})$

Étape 8.2.3.14

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{18})$

Étape 8.2.3.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $18$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.15.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{2 \cdot 9} + \frac{1}{18})$

Étape 8.2.3.15.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{2}{3} - (- \frac{9}{18} + \frac{1}{18})$

Étape 8.2.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} - \frac{- 9 + 1}{18}$

Étape 8.2.3.17

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{- 8}{18}$

Étape 8.2.3.18

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 (- 4)}{18}$

Étape 8.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Étape 8.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 9}$

Étape 8.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - \frac{- 4}{9}$

Étape 8.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} - - \frac{4}{9}$

Étape 8.2.3.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 1 (\frac{4}{9})$

Étape 8.2.3.21

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{4}{9}$

Étape 8.2.3.22

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{9}$

Étape 8.2.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.23.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{9}$

Étape 8.2.3.23.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{4}{9}$

Étape 8.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 3 + 4}{9}$

Étape 8.2.3.25

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.25.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 4}{9}$

Étape 8.2.3.25.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$\frac{10}{9}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{10}{9}$

Forme décimale :

$1.\overline{1}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{9}$

Étape 10