Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 - \frac{1}{5 x})}^{6 x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x}{5 x} - \frac{1}{5 x})}^{6 x}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{5 x - 1}{5 x})}^{6 x})$ en déplaçant $6 x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{6 x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} 6 x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Étape 3.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}$

Étape 4

Réécrivez $x \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})$ comme $\frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{6 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{6 \frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 1}{5 x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.3.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.5.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 - 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.5.2.1

Divisez $5 - 0$ par $1$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} (5 - 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2.2

Soustrayez $0$ de $5$ .

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.1.2.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 \frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.2.5.2.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{6 \frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{6 (\frac{0}{0})}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x - 1}{5 x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{5 x - 1}{5 x}$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x - 1}{5 x}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{5 x - 1}{5 x}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{5 x}{5 x - 1}$ par $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{5 x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.5

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x - 1}{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 x - 1} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{5 x}{5 x - 1}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 (5 x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{5 (5 x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 1$ et $g (x) = x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [5 x - 1] - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.12

Multipliez $5$ par $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x (5 + 0) - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.14

Additionnez $5$ et $0$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{x \cdot 5 - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.15

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 \cdot x - (5 x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 x - (5 x - 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.17

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{5 x - 1} \cdot \frac{5 x - (5 x - 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.18

Multipliez $\frac{x}{5 x - 1}$ par $\frac{5 x - (5 x - 1)}{x^{2}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{(5 x - 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.19.1

Factorisez $x$ à partir de $(5 x - 1) x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{x (5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.19.2

Annulez le facteur commun.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (5 x - (5 x - 1))}{x (5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.19.3

Réécrivez l’expression.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - (5 x - 1)}{(5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20

Simplifiez

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Étape 5.3.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 1 \cdot 5 x - - 1}{(5 x - 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 1 \cdot 5 x - - 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.20.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.20.3.1.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 5 x - - 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x - 5 x + 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.3.2

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 + 1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.3.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x \cdot x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.4

Associez des termes.

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Étape 5.3.20.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1} x - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1} x^{1} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{1 + 1} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{2} - 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.4.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x^{2} - x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.5

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2} - x$ .

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Étape 5.3.20.5.1

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot 5 x - x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \cdot 5 x + x \cdot - 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.20.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (5 x) + x \cdot - 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.21

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 5.3.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 5.3.23

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (5 x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (5 x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{x (5 x - 1)}$ et $x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (5 x - 1)}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (5 x - 1)}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (5 x - 1)}}$

Étape 5.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 lim_{x \to \infty} - \frac{x}{5 x - 1}}$

Étape 6

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x - 1}}$

Étape 7

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{5 x}{x} - \frac{1}{x}}}$

Étape 8.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$e^{6 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 - \frac{1}{x}}}$

Étape 8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{1}{x}}}$

Étape 8.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 8.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 - 0}}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5 + 0}}$

Étape 10.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$e^{6 \cdot - 1 \frac{1}{5}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$e^{- 6 (\frac{1}{5})}$

Étape 11.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{- 6}{5}}$

Étape 11.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- \frac{6}{5}}$

Étape 11.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{6}{5}}}$