Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{x} \sqrt{x^{2} + 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7

Différenciez.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.2

Associez les fractions.

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Étape 4.7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.2.2

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.2.3

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.6

Simplifiez les termes.

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Étape 4.7.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.6.2

Associez $2$ et $\frac{e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.6.3

Associez $\frac{2 e^{x}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{x} x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.7.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} e^{x}$

Étape 4.9

Remettez dans l’ordre ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.10

Pour écrire $e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13

Simplifiez $e^{x} {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14

Simplifiez

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Étape 4.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.14.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x e^{x} + e^{x} x^{2} + e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$