Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[3]{x}}{x} d x$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}}}{x} d x$

Étape 1.1.3.2

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1}{x} d x$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $x^{\frac{1}{3}}$ à partir de $x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{6}} + 1)}{x} d x$

Étape 1.2

Placez $x^{\frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x \cdot x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1} x^{- \frac{1}{3}}} d x$

Étape 1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{1 - \frac{1}{3}}} d x$

Étape 1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}} d x$

Étape 1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{3 - 1}{3}}} d x$

Étape 1.3.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{6}} + 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{\frac{2}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (x^{\frac{1}{6}} + 1) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{\frac{1}{6}} x^{- \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.3

Pour écrire $- \frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int x^{\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\int x^{\frac{1 - 4}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\int x^{\frac{3 (- 1)}{6}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 4.8

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Étape 9

Simplifiez

$2 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + C$