Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(e^{3 x} - 2)}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Réécrivez ${(e^{3 x} - 2)}^{2}$ comme $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ .

$\int (e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2) d x$

Étape 1.2

Développez $(e^{3 x} - 2) (e^{3 x} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{3 x} (e^{3 x} - 2) - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 (e^{3 x} - 2) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int e^{3 x} e^{3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int e^{3 x + 3 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Étape 1.3.1.1.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\int e^{6 x} + e^{3 x} \cdot - 2 - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 2 \cdot e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 2 \cdot - 2 d x$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\int e^{6 x} - 2 e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 4 d x$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 e^{3 x}$ de $- 2 e^{3 x}$ .

$\int e^{6 x} - 4 e^{3 x} + 4 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int e^{6 x} d x + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Alors $d u_{1} = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 3.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Étape 4

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{6} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \int - 4 e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{3 x} d x + \int 4 d x$

Étape 8

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 8.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 9

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}) + \int 4 d x$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 4$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) + \frac{- 4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2} + \int 4 d x$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + \int 4 d x$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} (e^{u_{1}} + C) - \frac{4}{3} (e^{u_{2}} + C) + 4 x + C$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{6} e^{u_{1}} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{u_{2}} + 4 x + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{6} e^{6 x} - \frac{4}{3} e^{3 x} + 4 x + C$