Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Étape 1

Placez le terme $- 4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $- \frac{π}{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{π}{3}$ pour $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{π}{3}$ pour $x$ .

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Étape 9.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

Étape 9.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

Étape 9.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

Étape 9.2.4

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

Étape 9.2.5

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

Étape 9.2.6

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

Étape 9.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

Étape 9.2.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.8.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

Étape 9.2.8.2

Additionnez $- 16$ et $5$ .

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

Étape 9.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

Étape 9.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

Étape 9.5.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

Étape 9.6

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{11}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

Étape 9.7

Associez $- 4$ et $\frac{\sqrt{3}}{11}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

Étape 9.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

Forme décimale :

$- 0.62983665 \dots$