Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{t} x \sqrt{x - t} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt{x - t}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x - t)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \frac{2}{3} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{t} {(x - t)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x - t$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x - t$ .

$\frac{d}{d x} [x - t]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - t$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- t]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- t]$

Étape 4.1.4

Comme $- t$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - t$ .

$u_{lower} = 0 - t$

Étape 4.3

Soustrayez $t$ de $0$ .

$u_{lower} = - t$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - t$ .

$u_{upper} = t - t$

Étape 4.5

Soustrayez $t$ de $t$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - t$

$u_{upper} = 0$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \int_{- t}^{0} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{t} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{x (2 {(x - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ sur $t$ et sur $0$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{- t}^{0}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $0$ et sur $- t$ .

$(\frac{t (2 {(t - t)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Soustrayez $t$ de $t$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{t (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{t (2 \cdot 0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{t \cdot 0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.7

Multipliez $t$ par $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{3 (0)}{3} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1} - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0 - \frac{0 (2 {(0 - t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.9

Soustrayez $t$ de $0$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- t)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$0 - \frac{0 (2 {(- (t))}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.11

Appliquez la règle de produit à $- (t)$ .

$0 - \frac{0 (2 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}}))}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - \frac{0 ({(- 1)}^{\frac{3}{2}} t^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13

Multipliez ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ par $0$ .

$0 - \frac{0 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.14

Multipliez $0$ par $t^{\frac{3}{2}}$ .

$0 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 6.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$0 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.17

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.18

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.19

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0^{5} - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.22

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- t)}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.23

Factorisez $- 1$ à partir de $- t$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} {(- (t))}^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.24

Appliquez la règle de produit à $- (t)$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2}{5} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} t^{\frac{5}{2}}))$

Étape 6.3.25

Associez ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5} t^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.26

Associez $t^{\frac{5}{2}}$ et $\frac{{(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} ({(- 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{5})$

Étape 6.3.27

Déplacez $2$ à gauche de ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{t^{\frac{5}{2}} (2 \cdot {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{5})$

Étape 6.3.28

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{5}{2}}$ .

$0 - \frac{2}{3} (0 - \frac{2 \cdot t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 6.3.29

Soustrayez $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ de $0$ .

$0 - \frac{2}{3} (- \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Étape 6.3.30

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3}) \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 6.3.31

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$

Étape 6.3.32

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$0 + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Étape 6.3.33

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}$

Étape 6.3.34

Multipliez $3$ par $5$ .

$0 + \frac{4 (t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}})}{15}$

Étape 6.3.35

Additionnez $0$ et $\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$ .

$\frac{4 t^{\frac{5}{2}} {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 {(- 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{{(- 1)}^{5}}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$\frac{4 \sqrt{- 1}}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{4 i}{15} t^{\frac{5}{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{4 i}{15}$ et $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{4 i t^{\frac{5}{2}}}{15}$