Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{2}{x}}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\frac{2}{x}})$

Étape 2

Développez le côté droit.

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Étape 2.1

Développez $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ en déplaçant $\frac{2}{x}$ hors du logarithme.

$\ln (y) = \frac{2}{x} \ln (x)$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 \ln (x)}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.4

Associez les fractions.

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Étape 3.2.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.4.2

Associez $2$ et $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez

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Étape 3.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 + 2 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 3.2.6.2.2

Multipliez $2 (- \ln (x))$ .

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Étape 3.2.6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - 2 \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 3.2.6.2.2.2

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{y'}{y} = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}} x^{\frac{2}{x}}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Associez $\frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$ et $x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}}{x^{2}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{\frac{2}{x}}$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x}}$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x^{2} ((2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2})}{x^{2} \cdot 1}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}}{1}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $(2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$ par $1$ .

$y' = (2 - \ln (x^{2})) x^{\frac{2}{x} - 2}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 x^{\frac{2}{x} - 2} - \ln (x^{2}) x^{\frac{2}{x} - 2}$ .

$y' = 2 x^{\frac{2}{x} - 2} - x^{\frac{2}{x} - 2} \ln (x^{2})$