Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \ln^{2} (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln^{2} (x)$ et $d v = x$ .

$\ln^{2} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln^{2} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln^{2} (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 3

Réécrivez $\frac{1}{2} x^{2} \frac{\ln (x^{2})}{x}$ comme $\frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2 \ln (x)}{x} d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} (2 \ln (x))}{x} d x)$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (2 \ln (x))$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x} d x)$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x^{1}} d x)$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (x (2 \ln (x)))}{x \cdot 1} d x)$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 \ln (x))}{1} d x)$

Étape 5.2.2.5

Divisez $x (2 \ln (x))$ par $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x)$

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x (2 \ln (x)) d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x (\ln (x)) d x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x (\ln (x)) d x$

Étape 7.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x (\ln (x)) d x$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x (\ln (x)) d x$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x (\ln (x)) d x$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x (\ln (x)) d x$

Étape 7.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - \int x (\ln (x)) d x$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 9.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Étape 9.4

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Étape 9.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 9.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Étape 9.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Étape 12.2

Réécrivez $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$ comme $\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Étape 12.3

Simplifiez

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Étape 12.3.1

Pour écrire $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 12.3.2

Associez $- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2}}{2} + \frac{- (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 12.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Étape 12.4

Simplifiez

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Étape 12.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 (- 1) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Étape 12.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Étape 12.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 (- \frac{x^{2}}{4})}{2} + C$

Étape 12.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - 2 \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Étape 12.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 (- 1) \frac{- x^{2}}{4}}{2} + C$

Étape 12.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 12.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{- x^{2}}{2 \cdot 2}}{2} + C$

Étape 12.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - (\ln (x) x^{2}) - \frac{- x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} - - \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.4.2

Multipliez $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 12.4.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + 1 \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.4.2.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.5

Pour écrire $- \ln (x) x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \ln (x) x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.6

Associez $- \ln (x) x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- \ln (x) x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

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Étape 12.4.8.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- \ln (x) x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2}}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.8.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.8.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (- \ln (x) \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- \ln (x) \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 2 \ln (x) + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) + 1)}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.10

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x)) - 1 (- 1))}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.12

Réécrivez $- (2 \ln (x) - 1)$ comme $- 1 (2 \ln (x) - 1)$ .

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} + \frac{x^{2} (- 1 (2 \ln (x) - 1))}{2}}{2} + C$

Étape 12.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{x^{2} (2 \ln (x) - 1)}{2}}{2} + C$

Étape 12.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (\ln^{2} (x) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} (2 \ln (x) - 1)) + C$