Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} - 1}{\sin (π x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2^{x + 1} - 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2^{x + 1} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2^{- 1 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} \sin (π x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to - 1} π x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to - 1} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot - 1)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\frac{0}{\sin (- 1 \cdot π)}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$\frac{0}{\sin (- π)}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x + 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x + 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2^{x + 1} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2^{x + 1}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.3.6

Multipliez $2^{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $2^{x + 1} \ln (2)$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Étape 3.7

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Étape 3.9

Multipliez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{\cos (π x) π}$

Étape 3.10

Réorganisez les facteurs de $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1} \ln (2)}{π \cos (π x)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{\ln (2)}{π}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (2)}{π} lim_{x \to - 1} \frac{2^{x + 1}}{\cos (π x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2^{x + 1}}{lim_{x \to - 1} \cos (π x)}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1}}{lim_{x \to - 1} \cos (π x)}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}}{lim_{x \to - 1} \cos (π x)}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1}}{lim_{x \to - 1} \cos (π x)}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1}}{\cos (lim_{x \to - 1} π x)}$

Étape 10

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{lim_{x \to - 1} x + 1}}{\cos (π lim_{x \to - 1} x)}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{- 1 + 1}}{\cos (π lim_{x \to - 1} x)}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (2)}{π} \cdot \frac{2^{- 1 + 1}}{\cos (π \cdot - 1)}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Associez.

$\frac{\ln (2) \cdot 2^{- 1 + 1}}{π \cos (π \cdot - 1)}$

Étape 12.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 2^{0}}{π \cos (π \cdot - 1)}$

Étape 12.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 1}{π \cos (π \cdot - 1)}$

Étape 12.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 1}{π \cos (- 1 \cdot π)}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 1}{π \cos (- π)}$

Étape 12.3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\ln (2) \cdot 1}{π (- \cos (0))}$

Étape 12.3.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 1}{π (- 1 \cdot 1)}$

Étape 12.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 1}{π \cdot - 1}$

Étape 12.4

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$\frac{\ln (2)}{π \cdot - 1}$

Étape 12.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\frac{\ln (2)}{- 1 \cdot π}$

Étape 12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\ln (2)}{π}$