Calcul infinitésimal Exemples

$\int (π - x) \cos (π x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = π - x$ et $d v = \cos (π x)$ .

$(π - x) (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) \cdot - 1 d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{π}$ et $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} \cdot - 1 d x$

Étape 2.3

Associez $\frac{\sin (π x)}{π}$ et $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x) \cdot - 1}{π} d x$

Étape 2.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- 1 \cdot \sin (π x)}{π} d x$

Étape 2.5

Réécrivez $- 1 \sin (π x)$ comme $- \sin (π x)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{- \sin (π x)}{π} d x$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - \int - \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} - - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + 1 \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Étape 4.2

Multipliez $\int \frac{\sin (π x)}{π} d x$ par $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \int \frac{\sin (π x)}{π} d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (π x) d x$

Étape 6

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 6.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 7

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Étape 9

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{1}{π}$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u$

Étape 9.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u$

Étape 9.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u$

Étape 9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u$

Étape 10

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

Réécrivez $(π - x) \frac{\sin (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C)$ comme $\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} + \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u)) + C$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{π^{2}}$ et $\cos (u)$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (u)}{π^{2}} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$\sin (π x) - \frac{\sin (π x) x}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Étape 13

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Étape 13.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (π x) x}{π}$ .

$\sin (π x) - \frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{\cos (π x)}{π^{2}} + C$

Étape 13.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sin (π x) - \frac{1}{π} x \sin (π x) - \frac{1}{π^{2}} \cos (π x) + C$