Calcul infinitésimal Exemples

$\int \arcsin (\cos (x)) d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = \arcsin (\cos (x))$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\arcsin (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (\cos (x))]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}} (- \sin (x))$

Étape 1.1.4

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \frac{\sin (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x)}}$

Étape 1.1.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.5.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 1.1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int - u_{2} d u_{2}$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 4

Réécrivez $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\arcsin (\cos (x))$ .

$- \frac{1}{2} {\arcsin (\cos (x))}^{2} + C$