Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.9

Associez $e^{x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 4.12

Associez.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.14

Annulez le facteur commun de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.17

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.17.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.17.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.18.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.18.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.19

Simplifiez

$\frac{e^{x} - 2 x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.20

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Étape 4.21

Simplifiez

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Étape 4.21.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 e^{x} x + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 2 e^{x} x + e^{x}$ .

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Étape 4.21.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x + 1)}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.3

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $e^{x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.21.4.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.21.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.21.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- x} (- 2 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.8

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$