Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (e^{x} - e^{- 2 x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} e^{x} - e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Étape 3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - e^{- 2 x} d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{- 2 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x}]_{0}^{1} - - \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 8.2

Multipliez $\int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$ par $1$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2$ et sur $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Simplifiez

$e - e^{0} + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 11.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 11.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Étape 11.3.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Étape 11.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e - 1 + \frac{1}{2} (e^{- 2} - 1)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e - 1 + \frac{1}{2} e^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- 2}$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 12.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$e - 1 + \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 12.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.4.1

Placez $e^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1}{2}$

Étape 12.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e - 1 + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{2}$

Étape 12.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 12.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 2 - 1}{2}$

Étape 12.5.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$e + \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- 3}{2}$

Étape 12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e + \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$1.28594947 \dots$

Étape 14