Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{3} (3 x^{2} + 5 x - 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{3} 3 x^{2} + 5 x - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 5 x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - 1 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + - x]_{- 1}^{3}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + - x]_{- 1}^{3}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - x]_{- 1}^{3}$

Étape 10.3

Évaluez $- x$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$3 (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 (9 - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (9 - - \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$3 (9 + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.7

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.8

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.10.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$3 \frac{27 + 1}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.10.2

Additionnez $27$ et $1$ .

$3 (\frac{28}{3}) + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.11

Associez $3$ et $\frac{28}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.12

Multipliez $3$ par $28$ .

$\frac{84}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.13

Annulez le facteur commun à $84$ et $3$ .

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Étape 10.4.13.1

Factorisez $3$ à partir de $84$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3 (1)} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 1} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{28}{1} + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.13.2.4

Divisez $28$ par $1$ .

$28 + 5 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.14

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$28 + 5 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$28 + 5 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$28 + 5 \frac{9 - 1}{2} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.17

Soustrayez $1$ de $9$ .

$28 + 5 (\frac{8}{2}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.18

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 10.4.18.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$28 + 5 \frac{2 \cdot 4}{2} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$28 + 5 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$28 + 5 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$28 + 5 (\frac{4}{1}) + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.18.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$28 + 5 \cdot 4 + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.19

Multipliez $5$ par $4$ .

$28 + 20 + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.20

Additionnez $28$ et $20$ .

$48 + (- 1 \cdot 3) - 1$

Étape 10.4.21

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$48 - 3 - 1$

Étape 10.4.22

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$48 - 4$

Étape 10.4.23

Soustrayez $4$ de $48$ .

$44$

Étape 11