Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Étape 1

Distribute denominator.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ à $\sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (θ)$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) + 1 d θ$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (θ) d θ + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (θ)$ est $\sec^{2} (θ)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (θ)$ est $\tan (θ)$ .

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}} + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ et $θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\tan (θ) + θ]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\tan (θ) + θ$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$(\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4}) - (\tan (0) + 0)$

Étape 6.2.2

Additionnez $\tan (0)$ et $0$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$1 + \frac{π}{4} - \tan (0)$

Étape 6.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$1 + \frac{π}{4} - 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 + \frac{π}{4} + 0$

Étape 6.3.4

Additionnez $1 + \frac{π}{4}$ et $0$ .

$1 + \frac{π}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$1 + \frac{π}{4}$

Forme décimale :

$1.78539816 \dots$