Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{0} \sqrt{x - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = - 1 - 1$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$u_{lower} = - 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 0 - 1$

Étape 1.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 2}^{- 1} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{- 2}^{- 1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{- 2}^{- 1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $- 1$ et sur $- 2$ .

$(\frac{2}{3} {(- 1)}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} {(- 2)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Associez ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(- 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Étape 4.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(- 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{3}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{{(- 1)}^{3}}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \sqrt{- 1}}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 5.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\frac{2 i}{3} - \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre $\frac{2 i}{3}$ et $- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{2 {(- 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 i}{3}$

Étape 6