Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{5}{x^{3}} \cdot e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ et $\frac{5}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \cdot 5}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Déplacez $5$ à gauche de $e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 \cdot e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$

Étape 1.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ et $g (x) = x^{3}$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 5 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}] - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

$- 5 \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} + 4 x^{2}]) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.4

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 4 (2 x))) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 5.9

Associez les fractions.

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Étape 5.9.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 5 \frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 5.9.2

Associez $- 5$ et $\frac{x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{- 5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 5.9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5) (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x)) - 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3} + 8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{5 (x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{3}) + e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3} + e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x))) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3} + 8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{5 (x^{3} (- 12 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + x^{3} (8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{5 (- 12 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + x^{3} (8 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{5 (- 12 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{3}) + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.7.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.7.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{5 (- 12 (x^{3} x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{5 (- 12 x^{3 + 3} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7.1.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{3} (e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x)) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 (x \cdot x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 6.2.1.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 (x^{1} x^{3}) e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{1 + 3} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.7.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{5 (- 12 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$- \frac{- 60 (x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (8 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $8$ par $5$ .

$- \frac{- 60 (x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 40 (x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.11

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 5 (- 3 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2})}{x^{6}}$

Étape 6.2.1.12

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}}{x^{6}}$

Étape 6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} x^{2}$ .

$- \frac{- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Étape 6.3

Factorisez $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ à partir de $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ à partir de $- 60 x^{6} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ à partir de $40 x^{4} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2}) - 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}}{x^{6}}$

Étape 6.3.3

Factorisez $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ à partir de $- 15 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)}{x^{6}}$

Étape 6.3.4

Factorisez $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ à partir de $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (8 x^{2})$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)}{x^{6}}$

Étape 6.3.5

Factorisez $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}$ à partir de $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2}) + 5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 3)$ .

$- \frac{5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{x^{6}}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{2} e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)$ .

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2} (5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 12 x^{4} + 8 x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 12 x^{4}$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4}) + 8 x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Étape 6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $8 x^{2}$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4}) - (- 8 x^{2}) - 3)}{x^{4}}$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{4}) - (- 8 x^{2})$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 3)}{x^{4}}$

Étape 6.8

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 1 (3))}{x^{4}}$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (12 x^{4} - 8 x^{2}) - 1 (3)$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3))}{x^{4}}$

Étape 6.10

Réécrivez $- (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)$ comme $- 1 (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)$ .

$- \frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (- 1 (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3))}{x^{4}}$

Étape 6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Étape 6.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Étape 6.13

Multipliez $\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$ par $1$ .

$\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$

Étape 6.14

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}}) (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{5 e^{- 3 x^{4} + 4 x^{2}} (12 x^{4} - 8 x^{2} + 3)}{x^{4}}$