Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x^{- 1}} (\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}})$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{- 1}}$ comme $x^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}} (\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}})]$

Étape 1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}})]$

Étape 1.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}})]$

Étape 1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}] + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 13

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 15.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 16

Associez les fractions.

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Étape 16.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 16.2

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 16.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 16.4

Associez $3$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 16.5

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 18

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 19

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 21.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 22

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 23

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 24

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25

Simplifiez

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Étape 25.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}) (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3

Associez des termes.

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Étape 25.3.1

Associez $x^{- \frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 25.3.3.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 25.3.3.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.3.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.3.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x} + x^{- \frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.4

Associez $x^{- \frac{1}{2}}$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.6

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.7

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 25.3.7.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{\frac{1 + 3}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.7.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{\frac{4}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.7.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.8

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.9

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 25.3.10.1

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 25.3.10.1.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.10.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.10.1.4

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.10.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{1}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.10.2

Simplifiez $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 25.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + 1 \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 25.3.12

Multipliez $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 25.3.13

Multipliez $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 25.3.14

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 25.3.14.1

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 25.3.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 25.3.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 2}$

Étape 25.3.14.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{\frac{4}{2}} \cdot 2}$

Étape 25.3.14.5

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{x^{2} \cdot 2}$

Étape 25.3.15

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 \cdot x^{2}}$

Étape 25.3.16

Soustrayez $\frac{1}{2 x}$ de $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + 0 + \frac{3}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.17

Additionnez $\frac{3}{2 x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{3}{2 x^{2}} + \frac{3}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.18

Additionnez $\frac{3}{2 x^{2}}$ et $\frac{3}{2 x^{2}}$ .

$2 \frac{3}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.19

Associez $2$ et $\frac{3}{2 x^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.20

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.21

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 25.3.21.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 25.3.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (x^{2})}$

Étape 25.3.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 x^{2}}$

Étape 25.3.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x^{2}}$