Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x)$

Étape 1

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Étape 2.3

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Étape 2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = {\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x))$

Étape 2.4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 2.5

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Étape 2.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x)$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Étape 2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sec (x) \tan (x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 5.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 6

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 6.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sec (x) \tan (x) = 0$ vraie.

$x = 0, π$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\tan^{2} (0) \sec (0) + \sec^{3} (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$0^{2} \sec (0) + \sec^{3} (0)$

Étape 9.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \sec (0) + \sec^{3} (0)$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)$

Étape 9.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + \sec^{3} (0)$

Étape 9.1.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 + 1^{3}$

Étape 9.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 1$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sec (0)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\tan^{2} (π) \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

${(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

${(- 0)}^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0^{2} \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \sec (π) + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$0 (- \sec (0)) + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.7

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1 + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.7.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + \sec^{3} (π)$

Étape 13.1.8

$0 + {(- \sec (0))}^{3}$

Étape 13.1.9

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 + {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 13.1.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + {(- 1)}^{3}$

Étape 13.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 - 1$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 14

$x = π$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \sec (π)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

$f (π) = - \sec (0)$

Étape 15.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Étape 15.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = - 1$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sec (x)$ .

$(0, 1)$ est un minimum local

$(π, - 1)$ est un maximum local

Étape 17