Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{x^{2}}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{2}})$

Étape 2

Développez $\ln (x^{x^{2}})$ en déplaçant $x^{2}$ hors du logarithme.

$\ln (y) = x^{2} \ln (x)$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = x^{2} \ln (x)$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $x^{2} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = x + \ln (x) (2 x)$

Étape 3.2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = 2 x \ln (x) + x$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (2 x \ln (x) + x) x^{x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y' = (x \ln (x^{2}) + x) x^{x^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = x \ln (x^{2}) x^{x^{2}} + x \cdot x^{x^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $x$ par $x^{x^{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Déplacez $x^{x^{2}}$ .

$y' = x^{x^{2}} x \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $x^{x^{2}}$ par $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = x^{x^{2}} x^{1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x \cdot x^{x^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez $x$ par $x^{x^{2}}$ .

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Étape 5.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1} x^{x^{2}}$

Étape 5.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = x^{x^{2} + 1} \ln (x^{2}) + x^{1 + x^{2}}$