Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x - 2}{y + 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 2}{y + 3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = y + 3$ .

$\frac{(y + 3) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(y + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(y + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(y + 3) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(y + 3) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $y + 3$ par $1$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) \frac{d}{d x} [y + 3]}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + \frac{d}{d x} [3])}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) (y' + 0)}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $y'$ et $0$ .

$\frac{y + 3 - (x - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 3 + (- x - - 2) y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 3 - x y' - - 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{y + 3 - x y' + 2 y'}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(y + 3)}^{2}$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(y + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' {(y + 3)}^{2} = \frac{- x y' + y + 2 y' + 3}{{(y + 3)}^{2}} {(y + 3)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' {(y + 3)}^{2} = - x y' + y + 2 y' + 3$

Étape 5.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + y + 2 y' + 3$

Étape 5.2.1.2.2

Déplacez $y$ .

$y' {(y + 3)}^{2} = - 1 y' x + 2 y' + y + 3$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 1 y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Étape 5.3.2

Réécrivez $- 1 y'$ comme $- y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' {(y + 3)}^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez $y' {(y + 3)}^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez ${(y + 3)}^{2}$ comme $(y + 3) (y + 3)$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' ((y + 3) (y + 3))$

Étape 5.3.3.2

Développez $(y + 3) (y + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y (y + 3) + 3 (y + 3))$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 (y + 3))$

Étape 5.3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y \cdot y + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + y \cdot 3 + 3 y + 3 \cdot 3)$

Étape 5.3.3.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 \cdot y + 3 y + 3 \cdot 3)$

Étape 5.3.3.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 3 y + 3 y + 9)$

Étape 5.3.3.3.2

Additionnez $3 y$ et $3 y$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2} + 6 y + 9)$

Étape 5.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' \cdot 9$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez

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Étape 5.3.3.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + y' \cdot 9$

Étape 5.3.3.5.2

Déplacez $9$ à gauche de $y'$ .

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 \cdot y'$

$- y' x + 2 y' + y + 3 = y' y^{2} + 6 y' y + 9 y'$

Étape 5.3.4

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' = - y' x + 2 y' + y + 3$

Étape 5.3.5

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.5.1

Ajoutez $y' x$ aux deux côtés de l’équation.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x = 2 y' + y + 3$

Étape 5.3.5.2

Soustrayez $2 y'$ des deux côtés de l’équation.

$y' y^{2} + 6 y' y + 9 y' + y' x - 2 y' = y + 3$

Étape 5.3.5.3

Soustrayez $2 y'$ de $9 y'$ .

$y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y' = y + 3$

Étape 5.3.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2} + 6 y' y + y' x + 7 y'$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + 6 y' y + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Étape 5.3.6.2

Factorisez $y'$ à partir de $6 y' y$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Étape 5.3.6.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + 7 y' = y + 3$

Étape 5.3.6.4

Factorisez $y'$ à partir de $7 y'$ .

$y' (y^{2}) + y' (6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Étape 5.3.6.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y^{2}) + y' (6 y)$ .

$y' (y^{2} + 6 y) + y' (x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Étape 5.3.6.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y^{2} + 6 y) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7 = y + 3$

Étape 5.3.6.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (y^{2} + 6 y + x) + y' \cdot 7$ .

$y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$

Étape 5.3.7

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ par $y^{2} + 6 y + x + 7$ et simplifiez.

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Étape 5.3.7.1

Divisez chaque terme dans $y' (y^{2} + 6 y + x + 7) = y + 3$ par $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Étape 5.3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 6 y + x + 7$ .

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Étape 5.3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y^{2} + 6 y + x + 7)}{y^{2} + 6 y + x + 7} = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Étape 5.3.7.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + 6 y + x + 7} + \frac{3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Étape 5.3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{y^{2} + 6 y + x + 7}$