Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x - 5) (3 - x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (3 - x) - 5 (3 - x)}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 (3 - x)}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot 3 + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 1.1.3.4.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x + x (- x) - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x - 5 \cdot 3 - 5 (- x)}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x \cdot x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Étape 1.1.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Étape 1.1.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - (x^{1} x^{1}) - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Étape 1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{1 + 1} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Étape 1.1.3.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.3.9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 5 \cdot 3 - 5 \cdot - 1 x}$

Étape 1.1.3.9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.9.2.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 - 5 \cdot - 1 x}$

Étape 1.1.3.9.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x - x^{2} - 15 + 5 x}$

Étape 1.1.3.9.2.3

Remettez dans l’ordre $3 x$ et $- x^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x - 15 + 5 x}$

Étape 1.1.3.9.2.4

Remettez dans l’ordre $- 15$ et $5 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 3 x + 5 x - 15}$

Étape 1.1.3.9.2.5

Déplacez $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 5 x + 3 x - 15}$

Étape 1.1.3.9.3

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{2} + 8 x - 15}$

Étape 1.1.3.10

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.1.3.11

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x - 5) (3 - x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x - 5) (3 - x)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = 3 - x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [3 - x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \frac{d}{d x} [- x] + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- \frac{d}{d x} [x]) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) (- 1 \cdot 1) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x - 5) \cdot - 1 + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $x - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.11

Réécrivez $- 1 (x - 5)$ comme $- (x - 5)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \frac{d}{d x} [x - 5]}$

Étape 1.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}$

Étape 1.3.14

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) (1 + 0)}$

Étape 1.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + (3 - x) \cdot 1}$

Étape 1.3.16

Multipliez $3 - x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- (x - 5) + 3 - x}$

Étape 1.3.17

Simplifiez

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Étape 1.3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x - - 5 + 3 - x}$

Étape 1.3.17.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.17.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 5 + 3 - x}$

Étape 1.3.17.2.2

Additionnez $5$ et $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- x + 8 - x}$

Étape 1.3.17.2.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{- 2 x + 8}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2 x + 8$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{- 2 x + 8}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 8}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x) + 2 (4)}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 (- x + 4)}$

Étape 1.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 (- x + 4)}$

Étape 1.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{- x + 4}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- \frac{x}{x} + \frac{4}{x}}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 \cdot 1 + \frac{4}{x}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1 + \frac{4}{x}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} - 1 + \frac{4}{x}}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x}}$

Étape 3.7

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 4 \cdot 0}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{- 1 + 0}$

Étape 5.1.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 5.2

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$