Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt{x} - \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.10

Associez $4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.12

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 3.2

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{6}{x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.6.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 3.6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.6.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Étape 3.10.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Étape 3.12

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 3.13

Associez $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 3.14

Multipliez $x^{- \frac{1}{3}}$ par $x^{- \frac{4}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.14.1

Déplacez $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Étape 3.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Étape 3.14.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Étape 3.14.4

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Étape 3.14.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Étape 3.15

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Étape 3.16

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.17

Associez $6$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.18

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.19

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.20.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

Étape 3.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 3.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{3}}}$