Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 1

Associez les fractions.

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Étape 1.1

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 4}{3})]$

Étape 1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3})]$

Étape 1.2.2

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}] + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$e^{x} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$e^{x} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 9

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 10

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 10.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 10.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 10.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 10.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 13

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 15.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 17

Associez $x^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 18

Multipliez.

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Étape 18.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 18.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 19

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{3 \cdot 2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 20

Multipliez.

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Étape 20.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{3 \cdot 2}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 20.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{12 x^{- \frac{5}{2}}}{6}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 20.3

Placez $x^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{12}{6 x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 21

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 \cdot 2}{6 x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 22

Annulez les facteurs communs.

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Étape 22.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{\frac{5}{2}}$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 \cdot 2}{6 (x^{\frac{5}{2}})}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 22.2

Annulez le facteur commun.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 \cdot 2}{6 x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 22.3

Réécrivez l’expression.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 23

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}) + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) e^{x}$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} + (- x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}) e^{x}$

Étape 24.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Étape 24.3

Associez des termes.

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Étape 24.3.1

Associez $e^{x}$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Étape 24.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$- \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + e^{x} \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Étape 24.3.3

Associez $e^{x}$ et $\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{e^{x} \cdot 2}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Étape 24.3.4

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}} e^{x}$

Étape 24.3.5

Associez $e^{x}$ et $\frac{4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{e^{x} \cdot 4}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 24.3.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{x}$ .

$- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - x^{\frac{2}{3}} e^{x} - \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 24.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{x^{\frac{5}{2}}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{3}{2}}}$