Calcul infinitésimal Exemples

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a x^{2}$ par rapport à $a$ est $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 1.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $b x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $a$ est $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 1.3.2

Comme $c$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $c$ par rapport à $a$ est $0$ .

$x^{2} + 0 + 0$

Étape 1.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2}$

Étape 2

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $a$ est $0$ .

$f'' (a) = 0$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x^{2} + b x + c$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [a x^{2}] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d a} [a x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a x^{2}$ par rapport à $a$ est $x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d a} [b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $b x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b x$ par rapport à $a$ est $0$ .

$x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Étape 4.1.3.2

Comme $c$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $c$ par rapport à $a$ est $0$ .

$x^{2} + 0 + 0$

Étape 4.1.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.1

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x^{2} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f' (a) = x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (a)$ par rapport à $a$ est $x^{2}$ .

$x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Points critiques à évaluer.

$a = 0$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde sur $a = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$0$

Étape 8

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 9