Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{0} (x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} - 4 x^{3} + 4 x + 4 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} x^{5} d x + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 \int_{- 1}^{0} x^{3} d x + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} 4 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + 4 x]_{- 1}^{0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{6} x^{6}]_{- 1}^{0}$ et $4 x]_{- 1}^{0}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + 4 x]_{- 1}^{0} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{1}{6} x^{6} + 4 x$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{0}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Étape 11.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4

Simplifiez

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Étape 11.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $0$ .

$0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - (\frac{1}{6} {(- 1)}^{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$0 - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{6} + 4 \cdot - 1) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.8

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} - 4 \cdot \frac{6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.9

Associez $- 4$ et $\frac{6}{6}$ .

$0 - (\frac{1}{6} + \frac{- 4 \cdot 6}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{1 - 4 \cdot 6}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.11.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$0 - \frac{1 - 24}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.11.2

Soustrayez $24$ de $1$ .

$0 - \frac{- 23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - - \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{23}{6}) - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.14

Multipliez $\frac{23}{6}$ par $1$ .

$0 + \frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.15

Additionnez $0$ et $\frac{23}{6}$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.17

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 11.2.4.17.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.17.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{23}{6} - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.17.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.18

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{23}{6} - 4 (0 - \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.19

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$\frac{23}{6} - 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.20

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{23}{6} + 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.21

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.22

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.4.22.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{23}{6} + \frac{4}{4} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.22.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{23}{6} + 1 + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.23

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{23}{6} + \frac{6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{23 + 6}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.25

Additionnez $23$ et $6$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.26

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.27

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.2.4.27.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{29}{6} + 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.27.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 11.2.4.28

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{29}{6} + 4 (0 - \frac{1}{2})$

Étape 11.2.4.29

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$\frac{29}{6} + 4 (- \frac{1}{2})$

Étape 11.2.4.30

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{29}{6} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 11.2.4.31

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 4}{2}$

Étape 11.2.4.32

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 11.2.4.32.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 11.2.4.32.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.32.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 11.2.4.32.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{29}{6} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 11.2.4.32.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{29}{6} + \frac{- 2}{1}$

Étape 11.2.4.32.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{29}{6} - 2$

Étape 11.2.4.33

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Étape 11.2.4.34

Associez $- 2$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{29}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Étape 11.2.4.35

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{29 - 2 \cdot 6}{6}$

Étape 11.2.4.36

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.36.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{29 - 12}{6}$

Étape 11.2.4.36.2

Soustrayez $12$ de $29$ .

$\frac{17}{6}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{17}{6}$

Forme décimale :

$2.8\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{5}{6}$

Étape 13