Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{5} + 3) \cdot 4 x^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{5} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot (x^{5} + 3) x^{3}]$

Étape 1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (x^{5} + 3) x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [(x^{5} + 3) x^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5} + 3$ et $g (x) = x^{3}$ .

$4 ((x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 ((x^{5} + 3) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{5} + 3$ .

$4 (3 \cdot (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 3])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]))$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4} + 0))$

Étape 3.6

Additionnez $5 x^{4}$ et $0$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{3} (5 x^{4}))$

Étape 4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{4}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4} x^{3} \cdot 5)$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{4 + 3} \cdot 5)$

Étape 4.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + x^{7} \cdot 5)$

Étape 5

Déplacez $5$ à gauche de $x^{7}$ .

$4 (3 (x^{5} + 3) x^{2} + 5 \cdot x^{7})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 ((3 x^{5} + 3 \cdot 3) x^{2} + 5 x^{7})$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x^{5} x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 5 x^{7})$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x^{5} x^{2}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Multipliez $x^{5}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 (3 (x^{2} x^{5})) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (3 x^{2 + 5}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4.1.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$4 (3 x^{7}) + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{7} + 4 (3 \cdot 3 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 x^{7} + 4 (9 x^{2}) + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 4 (5 x^{7})$

Étape 6.4.5

Multipliez $5$ par $4$ .

$12 x^{7} + 36 x^{2} + 20 x^{7}$

Étape 6.4.6

Additionnez $12 x^{7}$ et $20 x^{7}$ .

$32 x^{7} + 36 x^{2}$