Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.2.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 9.2.1.2.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 9.2.1.2.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.4.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x)) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.4.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.4.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) - - \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.5

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Étape 9.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + 1 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 + (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.6

Développez $(- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.7.1.1

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 9.2.1.7.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.1.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 9.2.1.7.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \cos (x) \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.7.3

Soustrayez $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.1.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin (2 x) + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) + 1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (2 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + 2}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) + 2 + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.5

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \cos (x) \sin (x)) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) + \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (2 x)$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2) - 1 (- \sin (2 x))$ .

$\frac{- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.9

Réécrivez $- (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ comme $- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))$ .

$\frac{- 1 (2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Étape 9.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cos (x) \sin (x) - 2 - \sin (2 x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$