Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{2 - {y'}^{2}}{2 + {y'}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $y'$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ est $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ où $f (y') = 2 - {y'}^{2}$ et $g (y') = 2 + {y'}^{2}$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 - {y'}^{2}] - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - {y'}^{2}$ par rapport à $y'$ est $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y'$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y'$ est $0$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y'$ , la dérivée de $- {y'}^{2}$ par rapport à $y'$ est $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ est $n {y'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [2 + {y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + {y'}^{2}$ par rapport à $y'$ est $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $y'$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y'$ est $0$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ est $n {y'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (2 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(2 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (2 - {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (2 - {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 2 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Multipliez ${y'}^{2}$ par $y'$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.3.1

Déplacez $y'$ .

$\frac{- 4 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.2

Multipliez $y'$ par ${y'}^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1.3.2.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 2 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5

Multipliez ${y'}^{2}$ par $y'$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.5.1

Déplacez $y'$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5.2

Multipliez $y'$ par ${y'}^{2}$ .

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Étape 3.3.4.1.5.2.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' + 2 {y'}^{3}}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Associez les termes opposés dans $- 4 y' - 2 {y'}^{3} - 4 y' + 2 {y'}^{3}$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Additionnez $- 2 {y'}^{3}$ et $2 {y'}^{3}$ .

$\frac{- 4 y' - 4 y' + 0}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.2.2

Additionnez $- 4 y' - 4 y'$ et $0$ .

$\frac{- 4 y' - 4 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.4.3

Soustrayez $4 y'$ de $- 4 y'$ .

$\frac{- 8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $y' = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$ par ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $y' = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$ par ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ .

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}} {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}}$ dans le numérateur.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}} {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 8 y'}{{(2 + {y'}^{2})}^{2}} {(2 + {y'}^{2})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} = - 8 y'$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $8 y'$ aux deux côtés de l’équation.

$y' {(2 + {y'}^{2})}^{2} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(2 + {y'}^{2})}^{2}$ comme $(2 + {y'}^{2}) (2 + {y'}^{2})$ .

$y' ((2 + {y'}^{2}) (2 + {y'}^{2})) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(2 + {y'}^{2}) (2 + {y'}^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' (2 (2 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (2 + {y'}^{2})) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' (2 \cdot 2 + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2} (2 + {y'}^{2})) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (2 \cdot 2 + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 2 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 2 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de ${y'}^{2}$ .

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + 2 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.1.3

Multipliez ${y'}^{2}$ par ${y'}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + 2 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.1.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y' (4 + 2 {y'}^{2} + 2 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.3.2

Additionnez $2 {y'}^{2}$ et $2 {y'}^{2}$ .

$y' (4 + 4 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' \cdot 4 + y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $y'$ .

$4 \cdot y' + y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.3

Multipliez $y'$ par ${y'}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.5.3.1

Multipliez $y'$ par ${y'}^{4}$ .

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Étape 5.3.1.2.5.3.1.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.5.3.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$4 \cdot y' + 4 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6

Multipliez $y'$ par ${y'}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.6.1

Déplacez ${y'}^{2}$ .

$4 y' + 4 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6.2

Multipliez ${y'}^{2}$ par $y'$ .

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Étape 5.3.1.2.6.2.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$4 y' + 4 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 y' + 4 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.2.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$4 y' + 4 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 8 y' = 0$

Étape 5.3.1.3

Additionnez $4 y'$ et $8 y'$ .

$4 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 12 y' = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 12 y'$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 {y'}^{3}$ .

$y' (4 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 12 y' = 0$

Étape 5.3.2.1.2

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{5}$ .

$y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 12 y' = 0$

Étape 5.3.2.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $12 y'$ .

$y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 12 = 0$

Étape 5.3.2.1.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ .

$y' (4 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 12 = 0$

Étape 5.3.2.1.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 12$ .

$y' (4 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 12) = 0$

Étape 5.3.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' ({y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12) = 0$

Étape 5.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y' = 0$

${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$

Étape 5.3.4

Définissez $y'$ égal à $0$ .

$y' = 0$

Étape 5.3.5

Définissez ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12$ égal à $0$ et résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.5.1

Définissez ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12$ égal à $0$ .

${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$

Étape 5.3.5.2

Résolvez ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$ pour $y'$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Remplacez $u = {y'}^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 4 u + 12 = 0$

$u = {y'}^{2}$

Étape 5.3.5.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3.5.2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4

Simplifiez

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Étape 5.3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.3

Soustrayez $48$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (32)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.7

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.5.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.3

Soustrayez $48$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (32)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.7

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.5.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = - 2 + 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.3.5.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.2.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 5.3.5.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.3

Soustrayez $48$ de $16$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.4

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (32)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.7

Réécrivez $32$ comme $4^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.5.2.6.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $32$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3.5.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 2 \pm 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 2 + 2 i \sqrt{2}, - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = {y'}^{2}$ dans l’équation résolue.

${y'}^{2} = - 2 + 2 i \sqrt{2}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.9

Résolvez la première équation pour $y'$ .

${y'}^{2} = - 2 + 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.10

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.3.5.2.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y' = \pm \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.2.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y' = - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.11

Résolvez la deuxième équation pour $y'$ .

${({y'}^{2})}^{1} = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.12

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.3.5.2.12.1

Supprimez les parenthèses.

${y'}^{2} = - 2 - 2 i \sqrt{2}$

Étape 5.3.5.2.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y' = \pm \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.12.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.3.5.2.12.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y' = \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.12.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y' = - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.12.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y' = \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.5.2.13

La solution à ${y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12 = 0$ est $y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$ .

$y' = \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 5.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $y' ({y'}^{4} + 4 {y'}^{2} + 12) = 0$ vraie.

$y' = 0, \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d v}$ .

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 + 2 i \sqrt{2}}, \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}, - \sqrt{- 2 - 2 i \sqrt{2}}$