Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{5}) {(6 x^{4} + x)}^{4}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(3 x^{5}) {(6 x^{4} + x)}^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [(x^{5}) {(6 x^{4} + x)}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(x^{5}) {(6 x^{4} + x)}^{4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = {(6 x^{4} + x)}^{4}$ .

$3 (x^{5} \frac{d}{d x} [{(6 x^{4} + x)}^{4}] + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 6 x^{4} + x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x^{4} + x$ .

$3 (x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x^{4} + x]) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (x^{5} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x^{4} + x]) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x^{4} + x$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x^{4} + x]) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x])) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x])) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x])) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $6$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + \frac{d}{d x} [x])) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1)) + {(6 x^{4} + x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1)) + {(6 x^{4} + x)}^{4} (5 x^{4}))$

Étape 4.7

Déplacez $5$ à gauche de ${(6 x^{4} + x)}^{4}$ .

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1)) + 5 \cdot {(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x^{5} (4 {(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1))) + 3 (5 {(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4})$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 (x^{5} ({(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1))) + 3 (5 {(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4})$

Étape 5.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$12 x^{5} ({(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1)) + 15 ({(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4})$

Étape 5.4

Factorisez $3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3}$ à partir de $12 x^{5} ({(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1)) + 15 {(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3}$ à partir de $12 x^{5} ({(6 x^{4} + x)}^{3} (24 x^{3} + 1))$ .

$3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3} (4 x (24 x^{3} + 1)) + 15 {(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4}$

Étape 5.4.2

Factorisez $3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3}$ à partir de $15 {(6 x^{4} + x)}^{4} x^{4}$ .

$3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3} (4 x (24 x^{3} + 1)) + 3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3} (5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.4.3

Factorisez $3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3}$ à partir de $3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3} (4 x (24 x^{3} + 1)) + 3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3} (5 (6 x^{4} + x))$ .

$3 x^{4} {(6 x^{4} + x)}^{3} (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.5

Utilisez le théorème du binôme.

$3 x^{4} ({(6 x^{4})}^{3} + 3 {(6 x^{4})}^{2} x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Appliquez la règle de produit à $6 x^{4}$ .

$3 x^{4} (6^{3} {(x^{4})}^{3} + 3 {(6 x^{4})}^{2} x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$3 x^{4} (216 {(x^{4})}^{3} + 3 {(6 x^{4})}^{2} x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{3}$ .

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Étape 5.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{4} (216 x^{4 \cdot 3} + 3 {(6 x^{4})}^{2} x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 {(6 x^{4})}^{2} x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.4

Appliquez la règle de produit à $6 x^{4}$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (6^{2} {(x^{4})}^{2}) x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 {(x^{4})}^{2}) x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 5.6.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 x^{4 \cdot 2}) x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 x^{8}) x + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.7

Multipliez $x^{8}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.7.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 (x \cdot x^{8})) + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.7.2

Multipliez $x$ par $x^{8}$ .

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Étape 5.6.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 (x^{1} x^{8})) + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 x^{1 + 8}) + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.7.3

Additionnez $1$ et $8$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 3 (36 x^{9}) + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.8

Multipliez $36$ par $3$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 108 x^{9} + 3 (6 x^{4}) x^{2} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.9

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 108 x^{9} + 3 (6 (x^{2} x^{4})) + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{4} (216 x^{12} + 108 x^{9} + 3 (6 x^{2 + 4}) + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.9.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 108 x^{9} + 3 (6 x^{6}) + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.6.10

Multipliez $6$ par $3$ .

$3 x^{4} (216 x^{12} + 108 x^{9} + 18 x^{6} + x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.7

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x^{4} (216 x^{12}) + 3 x^{4} (108 x^{9}) + 3 x^{4} (18 x^{6}) + 3 x^{4} x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.8

Simplifiez

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Étape 5.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 \cdot 216 x^{4} x^{12} + 3 x^{4} (108 x^{9}) + 3 x^{4} (18 x^{6}) + 3 x^{4} x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.8.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 \cdot 216 x^{4} x^{12} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 x^{4} (18 x^{6}) + 3 x^{4} x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(3 \cdot 216 x^{4} x^{12} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{4} x^{3}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.8.4

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.8.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$(3 \cdot 216 x^{4} x^{12} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 (x^{3} x^{4})) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.8.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 \cdot 216 x^{4} x^{12} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{3 + 4}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.8.4.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$(3 \cdot 216 x^{4} x^{12} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{12}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.9.1.1

Déplacez $x^{12}$ .

$(3 \cdot 216 (x^{12} x^{4}) + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(3 \cdot 216 x^{12 + 4} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.1.3

Additionnez $12$ et $4$ .

$(3 \cdot 216 x^{16} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.2

Multipliez $3$ par $216$ .

$(648 x^{16} + 3 \cdot 108 x^{4} x^{9} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.3

Multipliez $x^{4}$ par $x^{9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.9.3.1

Déplacez $x^{9}$ .

$(648 x^{16} + 3 \cdot 108 (x^{9} x^{4}) + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(648 x^{16} + 3 \cdot 108 x^{9 + 4} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.3.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$(648 x^{16} + 3 \cdot 108 x^{13} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.4

Multipliez $3$ par $108$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 3 \cdot 18 x^{4} x^{6} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.5

Multipliez $x^{4}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.9.5.1

Déplacez $x^{6}$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 3 \cdot 18 (x^{6} x^{4}) + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 3 \cdot 18 x^{6 + 4} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.5.3

Additionnez $6$ et $4$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 3 \cdot 18 x^{10} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.9.6

Multipliez $3$ par $18$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3} + 1) + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 x (24 x^{3}) + 4 x \cdot 1 + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 \cdot 24 x \cdot x^{3} + 4 x \cdot 1 + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 \cdot 24 x \cdot x^{3} + 4 x + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.10.4.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.10.4.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 \cdot 24 (x^{3} x) + 4 x + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.4.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.10.4.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 \cdot 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 \cdot 24 x^{3 + 1} + 4 x + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.4.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (4 \cdot 24 x^{4} + 4 x + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.4.2

Multipliez $4$ par $24$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (96 x^{4} + 4 x + 5 (6 x^{4} + x))$

Étape 5.10.5

Appliquez la propriété distributive.

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (96 x^{4} + 4 x + 5 (6 x^{4}) + 5 x)$

Étape 5.10.6

Multipliez $6$ par $5$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (96 x^{4} + 4 x + 30 x^{4} + 5 x)$

Étape 5.11

Additionnez $96 x^{4}$ et $30 x^{4}$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (126 x^{4} + 4 x + 5 x)$

Étape 5.12

Additionnez $4 x$ et $5 x$ .

$(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (126 x^{4} + 9 x)$

Étape 5.13

Développez $(648 x^{16} + 324 x^{13} + 54 x^{10} + 3 x^{7}) (126 x^{4} + 9 x)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$648 x^{16} (126 x^{4}) + 648 x^{16} (9 x) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.14.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$648 \cdot 126 x^{16} x^{4} + 648 x^{16} (9 x) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.2

Multipliez $x^{16}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$648 \cdot 126 (x^{4} x^{16}) + 648 x^{16} (9 x) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$648 \cdot 126 x^{4 + 16} + 648 x^{16} (9 x) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.2.3

Additionnez $4$ et $16$ .

$648 \cdot 126 x^{20} + 648 x^{16} (9 x) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.3

Multipliez $648$ par $126$ .

$81648 x^{20} + 648 x^{16} (9 x) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 648 \cdot 9 x^{16} x + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.5

Multipliez $x^{16}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.5.1

Déplacez $x$ .

$81648 x^{20} + 648 \cdot 9 (x \cdot x^{16}) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.5.2

Multipliez $x$ par $x^{16}$ .

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Étape 5.14.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$81648 x^{20} + 648 \cdot 9 (x^{1} x^{16}) + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 648 \cdot 9 x^{1 + 16} + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.5.3

Additionnez $1$ et $16$ .

$81648 x^{20} + 648 \cdot 9 x^{17} + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.6

Multipliez $648$ par $9$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 324 x^{13} (126 x^{4}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 324 \cdot 126 x^{13} x^{4} + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.8

Multipliez $x^{13}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.8.1

Déplacez $x^{4}$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 324 \cdot 126 (x^{4} x^{13}) + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 324 \cdot 126 x^{4 + 13} + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.8.3

Additionnez $4$ et $13$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 324 \cdot 126 x^{17} + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.9

Multipliez $324$ par $126$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 324 x^{13} (9 x) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 324 \cdot 9 x^{13} x + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.11

Multipliez $x^{13}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.11.1

Déplacez $x$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 324 \cdot 9 (x \cdot x^{13}) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.11.2

Multipliez $x$ par $x^{13}$ .

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Étape 5.14.11.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 324 \cdot 9 (x^{1} x^{13}) + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 324 \cdot 9 x^{1 + 13} + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.11.3

Additionnez $1$ et $13$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 324 \cdot 9 x^{14} + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.12

Multipliez $324$ par $9$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 54 x^{10} (126 x^{4}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 54 \cdot 126 x^{10} x^{4} + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.14

Multipliez $x^{10}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.14.1

Déplacez $x^{4}$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 54 \cdot 126 (x^{4} x^{10}) + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 54 \cdot 126 x^{4 + 10} + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.14.3

Additionnez $4$ et $10$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 54 \cdot 126 x^{14} + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.15

Multipliez $54$ par $126$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 54 x^{10} (9 x) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 54 \cdot 9 x^{10} x + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.17

Multipliez $x^{10}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.17.1

Déplacez $x$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 54 \cdot 9 (x \cdot x^{10}) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.17.2

Multipliez $x$ par $x^{10}$ .

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Étape 5.14.17.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 54 \cdot 9 (x^{1} x^{10}) + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.17.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 54 \cdot 9 x^{1 + 10} + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.17.3

Additionnez $1$ et $10$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 54 \cdot 9 x^{11} + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.18

Multipliez $54$ par $9$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 3 x^{7} (126 x^{4}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 3 \cdot 126 x^{7} x^{4} + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.20

Multipliez $x^{7}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.20.1

Déplacez $x^{4}$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 3 \cdot 126 (x^{4} x^{7}) + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 3 \cdot 126 x^{4 + 7} + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.20.3

Additionnez $4$ et $7$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 3 \cdot 126 x^{11} + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.21

Multipliez $3$ par $126$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 3 x^{7} (9 x)$

Étape 5.14.22

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 3 \cdot 9 x^{7} x$

Étape 5.14.23

Multipliez $x^{7}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.23.1

Déplacez $x$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 3 \cdot 9 (x \cdot x^{7})$

Étape 5.14.23.2

Multipliez $x$ par $x^{7}$ .

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Étape 5.14.23.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 3 \cdot 9 (x^{1} x^{7})$

Étape 5.14.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 3 \cdot 9 x^{1 + 7}$

Étape 5.14.23.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 3 \cdot 9 x^{8}$

Étape 5.14.24

Multipliez $3$ par $9$ .

$81648 x^{20} + 5832 x^{17} + 40824 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 27 x^{8}$

Étape 5.15

Additionnez $5832 x^{17}$ et $40824 x^{17}$ .

$81648 x^{20} + 46656 x^{17} + 2916 x^{14} + 6804 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 27 x^{8}$

Étape 5.16

Additionnez $2916 x^{14}$ et $6804 x^{14}$ .

$81648 x^{20} + 46656 x^{17} + 9720 x^{14} + 486 x^{11} + 378 x^{11} + 27 x^{8}$

Étape 5.17

Additionnez $486 x^{11}$ et $378 x^{11}$ .

$81648 x^{20} + 46656 x^{17} + 9720 x^{14} + 864 x^{11} + 27 x^{8}$