Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x - 2}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{-}} 4 - x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2^{-}} 4 - lim_{x \to 2^{-}} x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - lim_{x \to 2^{-}} x^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{4 - {(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{4 - x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.10

Placez ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.12

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.17

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.18

Associez $\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.20.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.20.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.22

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.23

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.24

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.25

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{4 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Étape 2

Comme la fonction $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

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Étape 2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $- 1$ retiré.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

Étape 2.2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $\sqrt{4 - x^{2}}$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $2$ vers la gauche, la fonction augmente sans borne.

$\infty$

Étape 2.3

Comme la fonction $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

$- \infty$